Um Estudo sobre polinômios ortogonais aplicados ao método de elementos finitos para resolver equações diferenciais

Resumo

A resolução de equações diferenciais é fundamental na modelagem de fenômenos em física, engenharia e ciências aplicadas. Um exemplo clássico é o problema da deflexão de uma placa retangular, modelado por um problema de valor de contorno. Contudo, soluções analíticas são restritas a casos simples, o que reforça a importância dos métodos numéricos. Entre as abordagens existentes, o método dos elementos finitos destaca-se por sua flexibilidade na representação de soluções em domínios complexos. Seu princípio básico consiste em obter uma solução aproximada dentro de um subespaço de projeção, no qual a equação diferencial é projetada. Preliminarmente foram abordados os fundamentos matemáticos que sustentam a formulação numérica, abrangendo conceitos da análise funcional, espaços de Hilbert e aproximações de funções contínuas por séries de funções ortogonais. O objetivo central é empregar polinômios como funções base no método dos elementos finitos, analisando a convergência da solução numérica por meio de implementações computacionais realizadas no software GNU Octave. Os resultados demonstraram estabilidade e convergência das soluções à medida que se ampliava a dimensão do subespaço de projeção.